Concours GEIPI-Polytech 2023

Une question à choix multiples est signalée par la mention QCM. Plusieurs réponses sont proposées et il n’y a qu’une seule bonne réponse. Vous entourerez la réponse choisie sur la feuille de réponses. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse sera pénalisée par des points négatifs.
Le total des points obtenu à cet exercice ne peut être strictement négatif.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse.

1. Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation \(X^2 -4X+2 = 0\) .

L’espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)\) . On donne les coordonnées suivantes :  \(\text A(0~;~0~;~0)\) , \(\text B(0~;~1~;~\sqrt 3)\) , \(\text C(0~;~2~;~0)\) , \(\text D(0~;1~;-\sqrt 3)\) , \(\text E(4~;~0~;~0)\) , \(\text F(4~;~ 1~; -\sqrt 3)\) , \(\text G(4~;~2~;~0)\) , \(\text H(4~;~2~;~4\sqrt 3)\) .

Soit \(\text I\) un point de coordonnées \(\text I(a~;~0~;~0)\) où \(a\) est un nombre réel de l'intervalle \([0~;~4]\) .

2. Déterminer les coordonnées des points  \(\text J\) et \(\text L\) , milieux respectifs des segments \(\mathrm{[BF] }\) et \(\mathrm{[DH]}\) .

3. a. Déterminer le réel  \(\lambda\)  tel que  \(\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\lambda\cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}\) . On exprimera  \(\lambda\)  en fonction de  \(a\) .
    b. QCM - Quel est l’ensemble décrit par le point \(\text H\) lorsque  \(a\) décrit l’intervalle \([0~;~4]\) ?

4. Exprimer  \(\text{IJ}^2\) et  \(\text{IL}^2\) en fonction de \(a\) . On ne demande pas de développer l’expression. On observera, sans la justifier, l'égalité des longueurs  \(\text{IJ}\) et \(\text{IL}\) .

5. a. Déterminer les nombres réels \(m\) , \(n\) , et  \(p\) tels que \(\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{IL}} = ma^2+na+p\) . Justifier la réponse.
    b. En déduire les valeurs de \(a\)  pour lesquelles les vecteurs  \(\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\)  et  \(\overrightarrow{\mathrm{IL}}\)  sont orthogonaux.

Dans les questions qui suivent, on prend  \(a= 2 +\sqrt2\) .

6. a. Justifier que les points \(\text I\) ,   \(\text J\) et \(\text L\)   définissent un plan.
    b. Justifier que le vecteur  \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1\\\sqrt 2\\0\\ \end{pmatrix}\)  est normal au plan \((\mathrm{IJL})\) .
    c. En déduire une équation cartésienne du plan  \((\mathrm{IJL})\) . Justifier la réponse.

7. Donner une représentation paramétrique de la droite \(\mathrm{(CG)}\) .

8. Déterminer les coordonnées de \(\text K\) , point d’intersection de la droite  \(\mathrm{(CG)}\) et du plan  \((\mathrm{IJL})\) . Justifier la réponse.

9. Préciser la nature du quadrilatère \(\mathrm{IJKL}\) . Aucune justification n’est attendue.